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歐拉線超過三種證法

歐拉線超過三種證法: 問提問者：網友 | 2017-10-09

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歐拉線　　三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。　　萊昂哈德?歐拉于1765年在它的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。他證明了在任意三角形中，以上四點共線。歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半?！　W拉線的證明：　　作△ABC的外接圓，連結并延長BO，交外接圓于點D。連結AD、CD、AH、CH、OH。作中線AM，設AM交OH于點G’　　∵ BD是直徑　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC　　∵ CH⊥AB，AH⊥BC　　∴ DA‖CH，DC‖AH　　∴ 四邊形ADCH是平行四邊形　　∴ AH=DC　　∵ M是BC的中點，O是BD的中點　　∴ OM= 1/2DC　　∴ OM= 1/2AH　　∵ OM‖AH　　∴ △OMG’ ∽△HAG’　　∴AG/GM=2/1　　∴ G’是△ABC的重心　　∴ G與G’重合　　∴ O、G、H三點在同一條直線上　　如果使用向量,證明過程可以極大的簡化,運用向量中的坐標法,分別求出O G H三點的坐標即可.　　歐拉線的另證：　　設H,G,O,分別為△ABC的垂心、重心、外心。連接AG并延長交BC于D, 則可知D為BC中點。　　連接OD ，又因為O為外心，所以OD⊥BC。連接AH并延長交BC于E,因H為垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G為重心，則GA:GD=2:1?！　∵B接CG并延長交BA于F,則可知D為BC中點。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF　　連接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相減可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1　　又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又連接AG并延長，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三點共線。: 回答者：網友

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