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公共汽車(chē)車(chē)門(mén)比普通房門(mén)節(jié)省的面積（擺線的應(yīng)用）

問(wèn) 提問(wèn)者：網(wǎng)友 2017-05-18
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x=4r*cos^3 θ y=4r*sin^3 θ 汽車(chē)門(mén)運(yùn)動(dòng)時(shí)，一端在x軸上，一端在y軸上，其掃過(guò)面積的外圍構(gòu)成星形線（第1象限）； ydx=-4r*sin^3θ*4r*3cos^2θsinθdθ =-16r*r*sin^4θ*3cos^2θdθ =-3r*r*(1-cos2θ)^2*(1+cos2θ)d(2θ) =-3r*r*(1+cos^2(2θ)-2cos2θ)*(1+cos2θ)d(2θ) 根據(jù)對(duì)稱性，函數(shù)cos2θ、cos^3(2θ)在（0，pi/2）區(qū)間上的積分為0。所以 原式=-3r*r*(1+cos^2(2θ)-2cos^2(2θ))d(2θ) =-3r*r*(1-cos^2(2θ))d(2θ) =-3r*r*(1/2-1/2*cos4θ)d(2θ) 再次由對(duì)稱性，原式在(0,pi/2)上積分結(jié)果為 =3r*r*1/2*pi =3r*r*pi/2 普通門(mén)掃過(guò)的面積:pi*(4r)^2/4=4pi*r^2 節(jié)省面積：(4-3/2)/4=5/8，答案為節(jié)省5/8。5/16疑為有誤。
回答者：網(wǎng)友
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